Борис Иванович родился в Перми в семье рабочего. Рано потерял мать и отец привел в дом мачеху, которая и привила мальчику любовь к театру. После окончания школы Александров поступил в Пермский художественный техникум, который окончил в 1932 г. по специальности художник-декоратор. После войны, в 1952 г. приехал в Сибирь в качестве главного художника Тобольского драматического театра. За годы работы в нашем городе оформил более 250 спектаклей, написал более 3000 эскизов, этюдов и картин. На счету художника оформление спектаклей по пьесам русских и зарубежных классиков: «Царь Федор Иоанович», «Отелло», «Мария Стюарт», «Коварство и любовь», «Без вины виноватые», «Разлом», «Человек с ружьем», «Оптимистическая трагедия», «Молодой человек», «Глубокие корни», «Нашествие» и др. Особое место в его творчестве занимают спектакли, посвященные сибирякам – «Матрос Хохряков» и «Гордость России» о Д. И. Менделееве.
В 1950-е гг. Борис Александров сыграл большую роль в культурной жизни города, являясь бессменным председателем художественного совета. В год 250-летия театра в 1955 г., художник возглавил работу по реставрации его здания. Под его руководством к театру была пристроена северная башня. В 1963 г. Александров собирался отметить двойной юбилей: свое 50-летие и 30-летие творческой деятельности. К дате он подготовил солидную выставку, но к сожалению не дожил. Подготовленную выставку эскизов и картин в дар Тобольскому музею передала вдова художника. С этого момента работы Б.И. Александрова бережно хранятся в фондах старейшего музея Западной Сибири. До 10 октября 2017 г. гости театра могут увидеть эскизы декораций Бориса Александрова к спектаклям «Хрустальный башмачок», «Чайка», «Ромео и Джульета», «Царь Фёдор Иоанович», «Тристан и Изольда» и «Отелло».
